本课目标
理解计算机为什么使用二进制；掌握进制转换、定点/浮点数表示；了解原码、反码、补码；熟悉基本算术逻辑运算，明白计算机底层如何存储和处理各类数据。
2.1 计算机为什么采用二进制 Binary
计算机硬件电路只有两种稳定状态：通电/断电、高电平/低电平，正好对应 1 和 0。
- 优势：硬件实现简单、抗干扰能力强，运算规则少；
- 缺点：人类读写不方便，所以日常使用十进制，需要进制互相转换。
补充：八进制 Oct、十六进制 Hex 是二进制的简写形式，方便程序员书写二进制串。1位十六进制 = 4位二进制。
2.2 进制转换
十进制 → 二进制
- 整数部分：除2取余，逆序排列
- 小数部分：乘2取整，顺序排列
二进制 → 十进制
按权展开求和：每一位数字 × 2的位权次方，累加得到十进制。
例：$(1011)_2 = 1×2^3 + 0×2^2 +1×2^1 +1×2^0 = 11$
2.3 机器数与真值
现实数字有正负，但计算机只能存0和1。
把符号数字化：最高位作为符号位，0代表正数，1代表负数。
- 真值(True Value)：带正负号的实际数值，例如 $-1011$
- 机器数(Machine Number)：存放在计算机里的二进制编码，例如
11011
机器数有三种常用编码：原码、反码、补码
原码 Original Code
符号位+数值本身绝对值。
优点：直观，和真值转换简单。
缺点：0有两种表示 +0、-0；减法不能直接做，硬件实现复杂。
反码 One’s Complement
- 正数反码 = 原码
- 负数反码：符号位不变，数值位全部按位取反
依然存在两个0，一般不用于运算，多用于过渡。
补码 Two’s Complement（重点）
计算机实际运算使用补码
- 正数补码 = 原码
- 负数补码：反码 + 1
特点：
- 0只有唯一编码；
- 减法可以转换成加法运算，CPU只需要一套加法电路，大幅简化硬件。
2.4 定点数与浮点数
定点数 Fixed-point Number
小数点位置固定不变。
- 定点整数：小数点在最低位右侧
- 定点小数：小数点在符号位与数值位之间
优点：硬件简单；缺点：表示范围很小。
浮点数 Floating-point Number
类似科学计数法：$N = M × 2^E$
- 尾数 Mantissa(M)：决定数值精度
- 阶码 Exponent(E)：决定数值表示范围
IEEE754 是通用浮点数标准： - 单精度 float：32位，1位符号 + 8位阶码 + 23位尾数
- 双精度 double：64位，1位符号 + 11位阶码 + 52位尾数
⚠️ 浮点数存在精度丢失，小数不能无限精确存储。
2.5 算术运算与逻辑运算
算术运算 Arithmetic Operation
补码加法：$[A+B]{补} = [A]{补}+[B]_{补}$，溢出需要做判断。
溢出 Overflow：运算结果超出当前字长能表示范围，结果出错。注意区分溢出和进位。
逻辑运算 Logic Operation
按位操作，每一位独立运算，没有进位：
- 逻辑与 AND：全1出1
- 逻辑或 OR：有1出1
- 逻辑非 NOT：0变1，1变0
- 异或 XOR：相同为0，不同为1
本课小结
计算机底层只用二进制存储信息。正负号编码为机器数，现代CPU依靠补码把减法转为加法，降低硬件成本。定点数适合小范围整数；浮点数利用阶码+尾数，用来表示大数和小数，但会有精度损失。ALU负责完成算术、逻辑运算。
思考练习
- 计算机为什么选择二进制，而不是十进制？
- 简述原码、反码、补码的区别，为什么计算机运算使用补码？
- IEEE754单精度浮点数分为哪三部分？
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